Poisson-fordeling: fra forventede mål til odds

Jeg skriver Poisson-formelen slik: P(k) = λ^k × e^−λ / k! I formelen er P(k) sjansen for at det blir akkurat k mål. λ, eller lambda, er forventede mål, altså snittet du venter i kampen, for eksempel 2,7. Så har du e, et fast tall på omtrent 2,718. Med et snitt på 2,7 er sjansen for null mål e^−2,7, som blir 6,72 %. Da er både λ^0 og 0! lik 1. Utropstegnet betyr fakultet: k! er 1 × 2 × … × k, så 3! = 6. Formelen passer for ting som skjer sjelden og uavhengig av hverandre i et fast tidsrom. Mål i en fotballkamp er et klassisk eksempel. Regner du ut sjansene for 0, 1, 2, 3 mål og videre, summerer alle sjansene seg til 100 %.

Ved λ = 2,7 viser jeg hele fordelingen i tabellen under, ikke bare 0, 1 og 2 mål. Du ser at 2 mål er det mest sannsynlige enkeltutfallet med 24,50 %, tett fulgt av 3 mål med 22,05 %. Kolonnen «så mange eller færre» summerer nedover: Ved 2 mål står det 49,36 %, altså sjansen for under 2,5 mål. For 8 mål eller flere er sjansen til sammen bare 0,66 %.

Jeg bruker samme fordeling for alle over/under-linjene, du flytter bare grensen. For over 1,5 mål blir regnestykket 100 % − 24,87 % = 75,13 %, som gir fair odds 1,33. Flytter du grensen til over 3,5 mål, får du 100 % − 71,41 % = 28,59 %, med fair odds 3,50. Tilbyr en bettingside mer enn fair odds, har spillet verdi etter modellen. Tilbyr den mindre, betaler du margin. Tabellen under samler de tre linjene, så du kan sammenligne dem.

Hele modellen står og faller på dette tallet, så det er her arbeidet ligger. Jeg tar utgangspunkt i tre vanlige kilder: lagets xG-snitt, altså expected goals, fra de siste kampene, målsnitt hjemme og borte i serien, eller angrepsstyrke og forsvarsstyrke målt mot ligasnittet.

Med den tredje metoden regner du hjemmelagets λ slik: hjemmelagets angrepsstyrke × bortelagets forsvarssvakhet × ligasnittet for hjemmemål. For bortelaget snur du på lagene og bruker ligasnittet for bortemål. Denne oppbygningen går tilbake til statistikeren M. J. Maher, som brukte Poisson på fotballresultater i 1982.

Men ligasnittet er ikke en fast størrelse på tvers av ligaer og sesonger. LaLiga 2025/26 endte med 1 024 mål på 380 kamper. Det gir omtrent 2,69 mål per kamp, nesten samme tall som 2,7 i eksempelet. Og bruk heller flere kamper enn få: fem kamper er et lite utvalg, der ett storresultat kan dra snittet mye.

Jeg starter med ett tall per lag: hvor mange mål laget forventes å score. Så bruker jeg Poisson til å gi hvert lag sin egen fordeling over 0, 1, 2, 3 mål og videre. Derfra ganger du sjansene sammen. For 1–1 tar du sjansen for at hjemmelaget scorer ett mål, ganger sjansen for at bortelaget scorer ett. For 2–0 bruker du to mål hos hjemmelaget og null hos bortelaget. Slik får du en beregnet sjanse for hvert resultat. Så legger du sammen resultatene som hører til markedet du ser på: hjemmeseier, uavgjort og borteseier for 1X2, eller over/under og begge lag scorer. Til slutt sammenligner du de beregnede sjansene med oddsen for å vurdere om prisen har verdi.

Jeg setter hjemmelagets λ til 1,6 og bortelagets til 1,1. Summen er 2,7, samme kamp-snitt som over. Hjemmelagets sannsynligheter for 0, 1 og 2 mål er 20,19 %, 32,30 % og 25,84 %. For bortelaget er de 33,29 %, 36,62 % og 20,14 %.

Du finner 1–1 ved å gange 32,30 % med 36,62 %: 11,83 %, det mest sannsynlige enkeltresultatet. Deretter får du 1–0 med 10,75 %, 2–1 med 9,46 % og 2–0 med 8,60 %.

For 0–0 gir 20,19 % × 33,29 % = 6,72 %. Det er også P(0) med λ = 2,7: To uavhengige Poisson-fordelinger summert gir en ny Poisson-fordeling med summen av snittene. Tabellen under viser 0–0 til 3–3.

Jeg går fra resultatmatrisen til 1X2 ved å summere rutene. Hjemmeseier er alle ruter der hjemmelaget har flest mål: 48,96 %, fair odds 2,04. Uavgjort er diagonalen, 0–0, 1–1, 2–2 og videre: 24,89 %, fair odds 4,02. Borteseier gir 26,15 %, fair odds 3,82. Til sammen blir det 100 %.

Begge lag scorer regner du slik: (1 − 20,19 %) × (1 − 33,29 %) = 53,24 %, fair odds 1,88. Korrekt resultat leser du direkte: 1–1 har 11,83 %, fair odds 8,45. Hjemmelaget over 1,5 mål blir 1 − 20,19 % − 32,30 % = 47,51 %, fair odds 2,10. Over 2,5 i kampen er fortsatt 50,64 %, fordi snittene summerer til 2,7. Sammenlign fair odds med tilbudene, helst hos flere bettingsider.

Poisson bommer først på at mål behandles som uavhengige, både innad i kampen og mellom lagene. Stillingen endrer jo hvordan lagene spiller: laget som leder, senker gjerne tempoet, mens laget som må score, åpner seg.

0–0 og 1–1 er to resultater der ren Poisson gir for lav sannsynlighet. Legg til 1–0 og 0–1, der den gir litt for høy sannsynlighet. Det var nettopp disse fire resultatene Dixon og Coles tok tak i i 1997, og justeringen brukes i mange modeller i dag.

Så har virkeligheten noe større spredning: av og til kommer flere store resultater enn modellen regner med. Tidlige røde kort og skader passer også dårlig inn, fordi λ, forventede mål, endrer seg underveis.

Og tallet du putter inn, setter grensen for modellen. Selv med gode anslag svinger enkeltresultatene mye. Det er varians, og du trenger mange spill før tallene viser seg.